Inequalities for Differential and Integral Equations

B.G. Pachpatte
Marathwada University,
Aurangabad,
India

Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Linear Integral Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 The Inequalities of Gronwall and Bellman . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Some Generalizations of the G r o n w a l I - B e l l m a n
Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Volterra-Type Integral Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
The Inequalities of Gamidov and Rodrigues . . . . . . . . . . . . 25
Simultaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Pachpatte's Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Integro-differential Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Inequalities with Several Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . 52
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10 Inequalities Involving Product Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.11.1 Second-order Integro-differential Equations . . . . . . . . . . 75
1.11.2 Perturbation of Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . 78
1.11.3 Higher Order Integro-differential Equations . . . . . . . . . . . 81
1.11.4 Integral Equation Involving Product Integrals . . . . . . . . . 84
1.12 Miscellaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2. N o n l i n e a r Integral Inequalities I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1
2.2
2.3
2.4
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Inequalities Involving Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
The Inequalities of Bihari and Langenhop . . . . . . . . . . . . . . 107
Generalizations of G r o n w a l I - B e l l m a n - B i h a r i
Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Inequalities with Volterra-Type Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Inequalities with Nonlinearities in the Integral . . . . . . . . . . . 135
Pachpatte's Inequalities I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Pachpatte's Inequalities II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Integro-differential Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.10 Inequalities with Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.11.1 Second Order Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . 187
2.11.2 Perturbed Integro-differential Equations . . . . . . . . . . . . . 192
2.11.3 Higher Order Integro-differential Equations . . . . . . . . . . . 198
2.11.4 Estimates of the Solutions of Certain Differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.12 Miscellaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3. Nonlinear Integral Inequalities II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.2 Dragomir's Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3,3 Pachpatte's Inequalities l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.4 The Inequalities of Ou-lang and Dafermos . . . . . . . . . . . . . 233
3,5 Pachpatte's Inequalities II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.6 Pachpatte's Inequalities III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.7 Pachpatte's Inequalities IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.8 The Inequalities of Haraux and Engler . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.9 Pachpatte's Inequalities V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3,10 Inequalities Involving Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.11,1 Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3,11.2 On Some Epidemic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3.11.3 Certain Integral and Differential Equations . . . . . . . . . . . 297
3.11.4 Certain Integro-differential and Differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.12 Miscellaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4. Multidimensional Linear Integral Inequalities . . . . . . . . . . . . . 323
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.2 Wendroff's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4,3 Pachpatte's Inequalities l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4,4 Pachpatte's Inequalities II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4,5 Pachpatte's Inequalities III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.6 Snow's Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.7 Generalizations of Snow's Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.8 Pachpatte's Inequalities IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4.9 Inequalities in Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
4,10 Young's Inequality and its Generalizations . . . . . . . . . . . . . 409
4.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
4.11,1 Hyperbolic Partial Integro-differential Equations . . . . . . . 417
4.11.2 Non-Self-Adjoint Hyperbolic Differential and
Integro-differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
4.11.3 Perturbations of Hyperbolic Partial Differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
4.11.4 Simultaneous Integral Equations in Two Variables . . . . . . 437
4.12 Miscellaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
4.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
5. Multidimensional Nonlinear Integral Inequalities . . . . . . . . . . 459
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
5.2 Generalizations of Wendroff's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . 460
5.3 Wendroff-type Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
5.4 Generalizations of Pachpatte's Inequalities . . . . . . . . . . . . . 479
5,5 Pachpatte's Inequalities l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
5.6 Pachpatte's Inequalities II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
5.7 Inequalities in Many Independent Variables . . . . . . . . . . . . 508
5.8 Pachpatte's Inequalities III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
5.9 Pachpatte's Inequalities IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
5,10 Pachpatte's Inequalities V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
5.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
5.11,1 Hyperbolic Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 556
5.11.2 Hyperbolic Partial Integro-differential Equations . . . . . . . 559
5.11.3 Higher Order Hyperbolic Partial Differential Equations . . . 561
5.11.4 Multivariate Hyperbolic Partial Integro-differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
5.12 Miscellaneous Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
5.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
R e f e r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 1
I n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 9


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