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Saturday, June 16, 2012

Handbook of Integral Equations






CONTENTS
Authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi
Some Remarks and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xxxiii
Part I. Exact Solutions of Integral Equations
1. Linear Equations of the First Kind with Variable Limit of Integration . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Equations Whose Kernels Contain Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1-1. Kernels Linear in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1-2. Kernels Quadratic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1-3. Kernels Cubic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1-4. Kernels Containing Higher-Order Polynomials in x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1-5. Kernels Containing Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1-6. Kernels Containing Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1-7. Kernels Containing Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1-8. Two-Dimensional Equation of the Abel Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Equations Whose Kernels Contain Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2-1. Kernels Containing Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2-2. Kernels Containing Power-Law and Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Equations Whose Kernels Contain Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3-1. Kernels Containing Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3-2. Kernels Containing Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3-3. Kernels Containing Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3-4. Kernels Containing Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3-5. Kernels Containing Combinations of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4. Equations Whose Kernels Contain Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4-1. Kernels Containing Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4-2. Kernels Containing Power-Law and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5. Equations Whose Kernels Contain Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5-1. Kernels Containing Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5-2. Kernels Containing Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5-3. Kernels Containing Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5-4. Kernels Containing Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5-5. Kernels Containing Combinations of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6. Equations Whose Kernels Contain Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.6-1. Kernels Containing Arccosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.6-2. Kernels Containing Arcsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.6-3. Kernels Containing Arctangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.6-4. Kernels Containing Arccotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.7. Equations Whose Kernels Contain Combinations of Elementary Functions . . . . . . . . . . 73
1.7-1. Kernels Containing Exponential and Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.7-2. Kernels Containing Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.7-3. Kernels Containing Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.7-4. Kernels Containing Hyperbolic and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.7-5. Kernels Containing Hyperbolic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.7-6. Kernels Containing Logarithmic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 85
1.8. Equations Whose Kernels Contain Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.8-1. Kernels Containing Error Function or Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.8-2. Kernels Containing Sine and Cosine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8-3. Kernels Containing Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8-4. Kernels Containing Incomplete Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.8-5. Kernels Containing Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.8-6. Kernels Containing Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.8-7. Kernels Containing Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.8-8. Kernels Containing Associated Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.8-9. Kernels Containing Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.8-10. Kernels Containing Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.8-11. Kernels Containing Chebyshev Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.8-12. Kernels Containing Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.8-13. Kernels Containing Jacobi Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.8-14. Kernels Containing Other Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.9. Equations Whose Kernels Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.9-1. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + g 2 (x)h 2 (t) . . . . . . . . . 111
1.9-2. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.9-3. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.10. Some Formulas and Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2. Linear Equations of the Second Kind with Variable Limit of Integration . . . . . . . . . . 127
2.1. Equations Whose Kernels Contain Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.1-1. Kernels Linear in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.1-2. Kernels Quadratic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.1-3. Kernels Cubic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.1-4. Kernels Containing Higher-Order Polynomials in x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.1-5. Kernels Containing Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.1-6. Kernels Containing Square Roots and Fractional Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.1-7. Kernels Containing Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2. Equations Whose Kernels Contain Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2-1. Kernels Containing Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2-2. Kernels Containing Power-Law and Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.3. Equations Whose Kernels Contain Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.3-1. Kernels Containing Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.3-2. Kernels Containing Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3-3. Kernels Containing Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.3-4. Kernels Containing Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.3-5. Kernels Containing Combinations of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4. Equations Whose Kernels Contain Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4-1. Kernels Containing Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4-2. Kernels Containing Power-Law and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.5. Equations Whose Kernels Contain Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.5-1. Kernels Containing Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.5-2. Kernels Containing Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.5-3. Kernels Containing Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.5-4. Kernels Containing Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.5-5. Kernels Containing Combinations of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 176
2.6. Equations Whose Kernels Contain Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.6-1. Kernels Containing Arccosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.6-2. Kernels Containing Arcsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2.6-3. Kernels Containing Arctangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.6-4. Kernels Containing Arccotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.7. Equations Whose Kernels Contain Combinations of Elementary Functions . . . . . . . . . . 179
2.7-1. Kernels Containing Exponential and Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.7-2. Kernels Containing Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.7-3. Kernels Containing Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.7-4. Kernels Containing Hyperbolic and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.7-5. Kernels Containing Hyperbolic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.7-6. Kernels Containing Logarithmic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 187
2.8. Equations Whose Kernels Contain Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.8-1. Kernels Containing Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.8-2. Kernels Containing Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.9. Equations Whose Kernels Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.9-1. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + · · · + gn(x)hn(t) . . . . 191
2.9-2. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.9-3. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.10. Some Formulas and Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3. Linear Equations of the First Kind with Constant Limits of Integration . . . . . . . . . . . 217
3.1. Equations Whose Kernels Contain Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.1-1. Kernels Linear in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.1-2. Kernels Quadratic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.1-3. Kernels Containing Integer Powers of x and t or Rational Functions . . . . . . . . . . 220
3.1-4. Kernels Containing Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.1-5. Kernels Containing Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.1-6. Equations Containing the Unknown Function of a Complicated Argument . . . . . 227
3.1-7. Singular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.2. Equations Whose Kernels Contain Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2-1. Kernels Containing Exponential Functions of the Form e
λ|x – t|
. . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2-2. Kernels Containing Exponential Functions of the Forms e
λx
and e
µt
. . . . . . . . . 234
3.2-3. Kernels Containing Exponential Functions of the Form e
λxt
. . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.2-4. Kernels Containing Power-Law and Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.2-5. Kernels Containing Exponential Functions of the Form e
λ ( x±t )
2
. . . . . . . . . . . . . 236
3.2-6. Other Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.3. Equations Whose Kernels Contain Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.3-1. Kernels Containing Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.3-2. Kernels Containing Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.3-3. Kernels Containing Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.3-4. Kernels Containing Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.4. Equations Whose Kernels Contain Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.4-1. Kernels Containing Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.4-2. Kernels Containing Power-Law and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.4-3. Equation Containing the Unknown Function of a Complicated Argument . . . . . . 246
3.5. Equations Whose Kernels Contain Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.5-1. Kernels Containing Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.5-2. Kernels Containing Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.5-3. Kernels Containing Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.5-4. Kernels Containing Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.5-5. Kernels Containing a Combination of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 252
3.5-6. Equations Containing the Unknown Function of a Complicated Argument . . . . . 254
3.5-7. Singular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.6. Equations Whose Kernels Contain Combinations of Elementary Functions . . . . . . . . . . 255
3.6-1. Kernels Containing Hyperbolic and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.6-2. Kernels Containing Logarithmic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 256
3.6-3. Kernels Containing Combinations of Exponential and Other Elementary
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.7. Equations Whose Kernels Contain Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.7-1. Kernels Containing Error Function, Exponential Integral or Logarithmic Integral 258
3.7-2. Kernels Containing Sine Integrals, Cosine Integrals, or Fresnel Integrals . . . . . . 258
3.7-3. Kernels Containing Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.7-4. Kernels Containing Incomplete Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.7-5. Kernels Containing Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.7-6. Kernels Containing Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.7-7. Kernels Containing Combinations of the Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.7-8. Kernels Containing Modified Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . 266
3.7-9. Kernels Containing Modified Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . 266
3.7-10. Kernels Containing a Combination of Bessel and Modified Bessel Functions . . 269
3.7-11. Kernels Containing Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.7-12. Kernels Containing Associated Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.7-13. Kernels Containing Kummer Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . 272
3.7-14. Kernels Containing Tricomi Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . 274
3.7-15. Kernels Containing Whittaker Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . 274
3.7-16. Kernels Containing Gauss Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.7-17. Kernels Containing Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.7-18. Kernels Containing Other Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.8. Equations Whose Kernels Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.8-1. Equations with Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.8-2. Equations Containing Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.8-3. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.8-4. Other Equations of the Form
b
a
K(x, t)y(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3.8-5. Equations of the Form
b
a
K(x, t)y( · · · ) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.9. Dual Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.9-1. Kernels Containing Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.9-2. Kernels Containing Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
3.9-3. Kernels Containing Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.9-4. Kernels Containing Legendre Spherical Functions of the First Kind, i 2 = –1 . . . 299CONTENTS ix
4. Linear Equations of the Second Kind with Constant Limits of Integration . . . . . . . . . 301
4.1. Equations Whose Kernels Contain Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.1-1. Kernels Linear in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.1-2. Kernels Quadratic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4.1-3. Kernels Cubic in the Arguments x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.1-4. Kernels Containing Higher-Order Polynomials in x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.1-5. Kernels Containing Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.1-6. Kernels Containing Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.1-7. Singular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.2. Equations Whose Kernels Contain Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.2-1. Kernels Containing Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.2-2. Kernels Containing Power-Law and Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.3. Equations Whose Kernels Contain Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.3-1. Kernels Containing Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.3-2. Kernels Containing Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.3-3. Kernels Containing Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.3-4. Kernels Containing Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.3-5. Kernels Containing Combination of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.4. Equations Whose Kernels Contain Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.4-1. Kernels Containing Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.4-2. Kernels Containing Power-Law and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.5. Equations Whose Kernels Contain Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.5-1. Kernels Containing Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.5-2. Kernels Containing Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.5-3. Kernels Containing Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
4.5-4. Kernels Containing Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.5-5. Kernels Containing Combinations of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 344
4.5-6. Singular Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
4.6. Equations Whose Kernels Contain Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 344
4.6-1. Kernels Containing Arccosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
4.6-2. Kernels Containing Arcsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4.6-3. Kernels Containing Arctangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
4.6-4. Kernels Containing Arccotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.7. Equations Whose Kernels Contain Combinations of Elementary Functions . . . . . . . . . . 348
4.7-1. Kernels Containing Exponential and Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.7-2. Kernels Containing Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.7-3. Kernels Containing Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 349
4.7-4. Kernels Containing Hyperbolic and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
4.7-5. Kernels Containing Hyperbolic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.7-6. Kernels Containing Logarithmic and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 353
4.8. Equations Whose Kernels Contain Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.8-1. Kernels Containing Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.8-2. Kernels Containing Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4.9. Equations Whose Kernels Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
4.9-1. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + · · · + gn(x)hn(t) . . . . 357
4.9-2. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4.9-3. Other Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . 374
4.9-4. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y( · · · ) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.10. Some Formulas and Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390x CONTENTS
5. Nonlinear Equations of the First Kind with Variable Limit of Integration . . . . . . . . . 393
5.1. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . 393
5.1-1. Equations of the Form
x
0
y(t)y(x – t) dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.1-2. Equations of the Form
x
0
K(x, t)y(t)y(x – t) dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.1-3. Equations of the Form
x
0
y(t)y( · · · ) dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
5.2. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . 397
5.2-1. Equations of the Form
x
a
K(x, t)[Ay(t) + By 2
(t)] dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.2-2. Equations of the Form
x
a
K(x, t)y(t)y(ax + bt) dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.3. Equations with Nonlinearity of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.3-1. Equations of the Form
x
a
K(x, t)f(t, y(t)) dt = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.3-2. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
6. Nonlinear Equations of the Second Kind with Variable Limit of Integration . . . . . . . 403
6.1. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . 403
6.1-1. Equations of the Form y(x) +
x
a
K(x, t)y 2 (t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1-2. Equations of the Form y(x) +
x
a
K(x, t)y(t)y(x – t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . 406
6.2. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . 406
6.2-1. Equations of the Form y(x) +
x
a
K(x, t)y 2 (t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
6.2-2. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
6.3. Equations with Power-Law Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3-1. Equations Containing Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3-2. Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.4. Equations with Exponential Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.4-1. Equations Containing Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.4-2. Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.5. Equations with Hyperbolic Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5-1. Integrands with Nonlinearity of the Form cosh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5-2. Integrands with Nonlinearity of the Form sinh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.5-3. Integrands with Nonlinearity of the Form tanh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
6.5-4. Integrands with Nonlinearity of the Form coth[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.6. Equations with Logarithmic Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
6.6-1. Integrands Containing Power-Law Functions of x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
6.6-2. Integrands Containing Exponential Functions of x and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
6.6-3. Other Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
6.7. Equations with Trigonometric Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
6.7-1. Integrands with Nonlinearity of the Form cos[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
6.7-2. Integrands with Nonlinearity of the Form sin[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
6.7-3. Integrands with Nonlinearity of the Form tan[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
6.7-4. Integrands with Nonlinearity of the Form cot[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.8. Equations with Nonlinearity of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.8-1. Equations of the Form y(x) +
x
a
K(x, t)G

y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.8-2. Equations of the Form y(x) +
x
a
K(x – t)G

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . 428
6.8-3. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7. Nonlinear Equations of the First Kind with Constant Limits of Integration . . . . . . . . 433
7.1. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . 433
7.1-1. Equations of the Form
b
a
K(t)y(x)y(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.1-2. Equations of the Form
b
a
K(t)y(t)y(xt) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7.1-3. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436CONTENTS xi
7.2. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . 437
7.2-1. Equations of the Form
b
a
K(t)y(t)y( · · · ) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.2-2. Equations of the Form
b
a
[K(x, t)y(t) + M(x, t)y 2 (t)] dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . 443
7.3. Equations with Power-Law Nonlinearity That Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . 444
7.3-1. Equations of the Form
b
a
K(t)y
µ
(x)y
γ
(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.3-2. Equations of the Form
b
a
K(t)y
γ
(t)y(xt) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.3-3. Equations of the Form
b
a
K(t)y
γ
(t)y(x + βt) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.3-4. Equations of the Form
b
a
[K(x, t)y(t) + M(x, t)y
γ
(t)] dt = f(x) . . . . . . . . . . . . . 446
7.3-5. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
7.4. Equations with Nonlinearity of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.4-1. Equations of the Form
b
a
ϕ

y(x)

K

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.4-2. Equations of the Form
b
a
y(xt)K

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.4-3. Equations of the Form
b
a
y(x + βt)K

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
7.4-4. Equations of the Form
b
a
[K(x, t)y(t) + ϕ(x) Ψ (t, y(t))] dt = F(x) . . . . . . . . . . . 450
7.4-5. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
8. Nonlinear Equations of the Second Kind with Constant Limits of Integration . . . . . . 453
8.1. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . 453
8.1-1. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y 2 (t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
8.1-2. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y(x)y(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
8.1-3. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(t)y(t)y( · · · ) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.2. Equations with Quadratic Nonlinearity That Contain Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . 456
8.2-1. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y 2
(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
8.2-2. Equations of the Form y(x) +
b
a

Knm(x, t)y
n
(x)y
m
(t) dt = F(x), n + m ≤ 2 457
8.2-3. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(t)y(t)y( · · · ) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.3. Equations with Power-Law Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.3-1. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)y
β
(t) dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.3-2. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.4. Equations with Exponential Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.4-1. Integrands with Nonlinearity of the Form exp[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.4-2. Other Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.5. Equations with Hyperbolic Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.5-1. Integrands with Nonlinearity of the Form cosh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.5-2. Integrands with Nonlinearity of the Form sinh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.5-3. Integrands with Nonlinearity of the Form tanh[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.5-4. Integrands with Nonlinearity of the Form coth[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
8.5-5. Other Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
8.6. Equations with Logarithmic Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.6-1. Integrands with Nonlinearity of the Form ln[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.6-2. Other Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.7. Equations with Trigonometric Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.7-1. Integrands with Nonlinearity of the Form cos[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.7-2. Integrands with Nonlinearity of the Form sin[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
8.7-3. Integrands with Nonlinearity of the Form tan[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.7-4. Integrands with Nonlinearity of the Form cot[βy(t)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.7-5. Other Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476xii CONTENTS
8.8. Equations with Nonlinearity of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
8.8-1. Equations of the Form y(x) +
b
a
K( | x – t | )G

y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . 477
8.8-2. Equations of the Form y(x) +
b
a
K(x, t)G

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . 479
8.8-3. Equations of the Form y(x) +
b
a
G

x, t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
8.8-4. Equations of the Form y(x) +
b
a
y(xt)G

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.8-5. Equations of the Form y(x) +
b
a
y(x + βt)G

t, y(t)

dt = F(x) . . . . . . . . . . . . . . 487
8.8-6. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Part II. Methods for Solving Integral Equations
9. Main Definitions and Formulas. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
9.1. Some Definitions, Remarks, and Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
9.1-1. Some Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
9.1-2. Structure of Solutions to Linear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
9.1-3. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
9.1-4. Residues. Calculation Formulas. Cauchy’s Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.1-5. Jordan Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
9.2. Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
9.2-1. Definition. Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
9.2-2. Inverse Transforms of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
9.2-3. Inversion of Functions with Finitely Many Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.2-4. Convolution Theorem. Main Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . 507
9.2-5. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.2-6. Representation of Inverse Transforms as Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
9.2-7. Representation of Inverse Transforms as Asymptotic Expansions as x → ∞ . . . 509
9.2-8. Post–Widder Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
9.3. Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
9.3-1. Definition. Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
9.3-2. Main Properties of the Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
9.3-3. Relation Among the Mellin, Laplace, and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . 511
9.4. Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.4-1. Definition. Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.4-2. Asymmetric Form of the Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.4-3. Alternative Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.4-4. Convolution Theorem. Main Properties of the Fourier Transforms . . . . . . . . . . . 513
9.5. Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.5-1. Fourier Cosine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.5-2. Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.6. Other Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.6-1. Hankel Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.6-2. Meijer Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.6-3. Kontorovich–Lebedev Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.6-4. Y -transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.6-5. Summary Table of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
10. Methods for Solving Linear Equations of the Form
x
a
K(x, t)y(t) dt = f(x) . . . . . 519
10.1. Volterra Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
10.1-1. Equations of the First Kind. Function and Kernel Classes . . . . . . . . . . . . . . . . 519
10.1-2. Existence and Uniqueness of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
10.1-3. Some Problems Leading to Volterra Integral Equations of the First Kind . . . . 520CONTENTS xiii
10.2. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + · · · + gn(x)hn(t) . . . . . . . . . 522
10.2-1. Equations with Kernel of the Form K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + g 2 (x)h 2 (t) . . . . . . . 522
10.2-2. Equations with General Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
10.3. Reduction of Volterra Equations of the First Kind to Volterra Equations of the Second
Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.3-1. First Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.3-2. Second Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.4. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.4-1. Solution Method Based on the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.4-2. Case in Which the Transform of the Solution is a Rational Function . . . . . . . . 525
10.4-3. Convolution Representation of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
10.4-4. Application of an Auxiliary Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
10.4-5. Reduction to Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
10.4-6. Reduction of a Volterra Equation to a Wiener–Hopf Equation . . . . . . . . . . . . . 528
10.5. Method of Fractional Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.5-1. Definition of Fractional Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.5-2. Definition of Fractional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.5-3. Main Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
10.5-4. Solution of the Generalized Abel Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
10.5-5. Erd´elyi–Kober Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
10.6. Equations with Weakly Singular Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
10.6-1. Method of Transformation of the Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
10.6-2. Kernel with Logarithmic Singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
10.7. Method of Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
10.7-1. Quadrature Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
10.7-2. General Scheme of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
10.7-3. Algorithm Based on the Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
10.7-4. Algorithm for an Equation with Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
10.8. Equations with Infinite Integration Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
10.8-1. Equation of the First Kind with Variable Lower Limit of Integration . . . . . . . . 537
10.8-2. Reduction to a Wiener–Hopf Equation of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
11. Methods for Solving Linear Equations of the Form y(x) –
x
a
K(x, t)y(t) dt = f(x) 539
11.1. Volterra Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
11.1-1. Preliminary Remarks. Equations for the Resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
11.1-2. Relationship Between Solutions of Some Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . 540
11.2. Equations with Degenerate Kernel: K(x, t) = g 1 (x)h 1 (t) + · · · + gn(x)hn(t) . . . . . . . . . 540
11.2-1. Equations with Kernel of the Form K(x, t) = ϕ(x) + ψ(x)(x – t) . . . . . . . . . . . 540
11.2-2. Equations with Kernel of the Form K(x, t) = ϕ(t) + ψ(t)(t – x) . . . . . . . . . . . . 541
11.2-3. Equations with Kernel of the Form K(x, t) =
n
m =1
ϕm(x)(x – t)
m –1 . . . . . . . 542
11.2-4. Equations with Kernel of the Form K(x, t) =
n
m =1
ϕm(t)(t – x)
m –1 . . . . . . . 543
11.2-5. Equations with Degenerate Kernel of the General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
11.3. Equations with Difference Kernel: K(x, t) = K(x – t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
11.3-1. Solution Method Based on the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
11.3-2. Method Based on the Solution of an Auxiliary Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
11.3-3. Reduction to Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
11.3-4. Reduction to a Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . 547
11.3-5. Method of Fractional Integration for the Generalized Abel Equation . . . . . . . . 548
11.3-6. Systems of Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549xiv CONTENTS
11.4. Operator Methods for Solving Linear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
11.4-1. Application of a Solution of a “Truncated” Equation of the First Kind . . . . . . 549
11.4-2. Application of the Auxiliary Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . 551
11.4-3. Method for Solving “Quadratic” Operator Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
11.4-4. Solution of Operator Equations of Polynomial Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
11.4-5. Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
11.5. Construction of Solutions of Integral Equations with Special Right-Hand Side . . . . . . . 555
11.5-1. General Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
11.5-2. Generating Function of Exponential Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
11.5-3. Power-Law Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
11.5-4. Generating Function Containing Sines and Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
11.6. Method of Model Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
11.6-1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
11.6-2. Description of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
11.6-3. Model Solution in the Case of an Exponential Right-Hand Side . . . . . . . . . . . 561
11.6-4. Model Solution in the Case of a Power-Law Right-Hand Side . . . . . . . . . . . . . 562
11.6-5. Model Solution in the Case of a Sine-Shaped Right-Hand Side . . . . . . . . . . . . 562
11.6-6. Model Solution in the Case of a Cosine-Shaped Right-Hand Side . . . . . . . . . . 563
11.6-7. Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
11.7. Method of Differentiation for Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
11.7-1. Equations with Kernel Containing a Sum of Exponential Functions . . . . . . . . 564
11.7-2. Equations with Kernel Containing a Sum of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . 564
11.7-3. Equations with Kernel Containing a Sum of Trigonometric Functions . . . . . . . 564
11.7-4. Equations Whose Kernels Contain Combinations of Various Functions . . . . . . 565
11.8. Reduction of Volterra Equations of the Second Kind to Volterra Equations of the First
Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
11.8-1. First Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
11.8-2. Second Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
11.9. Successive Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
11.9-1. General Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
11.9-2. Formula for the Resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
11.10. Method of Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
11.10-1. General Scheme of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
11.10-2. Application of the Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
11.10-3. Case of a Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
11.11. Equations with Infinite Integration Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
11.11-1. Equation of the Second Kind with Variable Lower Integration Limit . . . . . . 570
11.11-2. Reduction to a Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . 571
12. Methods for Solving Linear Equations of the Form
b
a
K(x, t)y(t) dt = f(x) . . . . . 573
12.1. Some Definition and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
12.1-1. Fredholm Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
12.1-2. Integral Equations of the First Kind with Weak Singularity . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.1-3. Integral Equations of Convolution Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.1-4. Dual Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
12.1-5. Some Problems Leading to Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . 575
12.2. Integral Equations of the First Kind with Symmetric Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
12.2-1. Solution of an Integral Equation in Terms of Series in Eigenfunctions of Its
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
12.2-2. Method of Successive Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579CONTENTS xv
12.3. Integral Equations of the First Kind with Nonsymmetric Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
12.3-1. Representation of a Solution in the Form of Series. General Description . . . . 580
12.3-2. Special Case of a Kernel That is a Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
12.3-3. Special Case of the Right-Hand Side Represented in Terms of Orthogonal
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
12.3-4. General Case. Galerkin’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
12.3-5. Utilization of the Schmidt Kernels for the Construction of Solutions of
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
12.4. Method of Differentiation for Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
12.4-1. Equations with Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
12.4-2. Other Equations. Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
12.5. Method of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
12.5-1. Equation with Difference Kernel on the Entire Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
12.5-2. Equations with Kernel K(x, t) = K(x/t) on the Semiaxis . . . . . . . . . . . . . . . . 587
12.5-3. Equation with Kernel K(x, t) = K(xt) and Some Generalizations . . . . . . . . . . 587
12.6. Krein’s Method and Some Other Exact Methods for Integral Equations of Special Types 588
12.6-1. Krein’s Method for an Equation with Difference Kernel with a Weak Singularity 588
12.6-2. Kernel is the Sum of a Nondegenerate Kernel and an Arbitrary Degenerate
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
12.6-3. Reduction of Integral Equations of the First Kind to Equations of the Second
Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
12.7. Riemann Problem for the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
12.7-1. Relationships Between the Fourier Integral and the Cauchy Type Integral . . . . 592
12.7-2. One-Sided Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
12.7-3. Analytic Continuation Theorem and the Generalized Liouville Theorem . . . . 595
12.7-4. Riemann Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
12.7-5. Problems with Rational Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
12.7-6. Exceptional Cases. The Homogeneous Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
12.7-7. Exceptional Cases. The Nonhomogeneous Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
12.8. Carleman Method for Equations of the Convolution Type of the First Kind . . . . . . . . . 606
12.8-1. Wiener–Hopf Equation of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
12.8-2. Integral Equations of the First Kind with Two Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
12.9. Dual Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
12.9-1. Carleman Method for Equations with Difference Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . 610
12.9-2. General Scheme of Finding Solutions of Dual Integral Equations . . . . . . . . . . 611
12.9-3. Exact Solutions of Some Dual Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . 613
12.9-4. Reduction of Dual Equations to a Fredholm Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
12.10. Asymptotic Methods for Solving Equations with Logarithmic Singularity . . . . . . . . . 618
12.10-1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
12.10-2. Solution for Large λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
12.10-3. Solution for Small λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
12.10-4. Integral Equation of Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.11. Regularization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.11-1. Lavrentiev Regularization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
12.11-2. Tikhonov Regularization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
12.12. Fredholm Integral Equation of the First Kind as an Ill-Posed Problem . . . . . . . . . . . . 623
12.12-1. General Notions of Well-Posed and Ill-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 623
12.12-2. Integral Equation of the First Kind is an Ill-Posed Problem . . . . . . . . . . . . . 624xvi CONTENTS
13. Methods for Solving Linear Equations of the Form y(x) –
b
a
K(x, t)y(t) dt = f(x) 625
13.1. Some Definition and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
13.1-1. Fredholm Equations and Equations with Weak Singularity of the Second Kind 625
13.1-2. Structure of the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
13.1-3. Integral Equations of Convolution Type of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . 626
13.1-4. Dual Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
13.2. Fredholm Equations of the Second Kind with Degenerate Kernel. Some Generalizations 627
13.2-1. Simplest Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
13.2-2. Degenerate Kernel in the General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
13.2-3. Kernel is the Sum of a Nondegenerate Kernel and an Arbitrary Degenerate
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
13.3. Solution as a Power Series in the Parameter. Method of Successive Approximations . . 632
13.3-1. Iterated Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
13.3-2. Method of Successive Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
13.3-3. Construction of the Resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
13.3-4. Orthogonal Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
13.4. Method of Fredholm Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
13.4-1. Formula for the Resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
13.4-2. Recurrent Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
13.5. Fredholm Theorems and the Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
13.5-1. Fredholm Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
13.5-2. Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
13.6. Fredholm Integral Equations of the Second Kind with Symmetric Kernel . . . . . . . . . . . 639
13.6-1. Characteristic Values and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
13.6-2. Bilinear Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
13.6-3. Hilbert–Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
13.6-4. Bilinear Series of Iterated Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
13.6-5. Solution of the Nonhomogeneous Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
13.6-6. Fredholm Alternative for Symmetric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
13.6-7. Resolvent of a Symmetric Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
13.6-8. Extremal Properties of Characteristic Values and Eigenfunctions . . . . . . . . . . 644
13.6-9. Kellog’s Method for Finding Characteristic Values in the Case of Symmetric
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
13.6-10. Trace Method for the Approximation of Characteristic Values . . . . . . . . . . . . 646
13.6-11. Integral Equations Reducible to Symmetric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
13.6-12. Skew-Symmetric Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
13.6-13. Remark on Nonsymmetric Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
13.7. Integral Equations with Nonnegative Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
13.7-1. Positive Principal Eigenvalues. Generalized Jentzch Theorem . . . . . . . . . . . . . 648
13.7-2. Positive Solutions of a Nonhomogeneous Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . . 649
13.7-3. Estimates for the Spectral Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
13.7-4. Basic Definition and Theorems for Oscillating Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
13.7-5. Stochastic Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
13.8. Operator Method for Solving Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . 655
13.8-1. Simplest Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
13.8-2. Solution of Equations of the Second Kind on the Semiaxis . . . . . . . . . . . . . . . 655CONTENTS xvii
13.9. Methods of Integral Transforms and Model Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
13.9-1. Equation with Difference Kernel on the Entire Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
13.9-2. Equation with the Kernel K(x, t) = t –1 Q(x/t) on the Semiaxis . . . . . . . . . . . . 657
13.9-3. Equation with the Kernel K(x, t) = t
β
Q(xt) on the Semiaxis . . . . . . . . . . . . . 658
13.9-4. Method of Model Solutions for Equations on the Entire Axis . . . . . . . . . . . . . 659
13.10. Carleman Method for Integral Equations of Convolution Type of the Second Kind . . 660
13.10-1. Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
13.10-2. Integral Equation of the Second Kind with Two Kernels . . . . . . . . . . . . . . . 664
13.10-3. Equations of Convolution Type with Variable Integration Limit . . . . . . . . . . 668
13.10-4. Dual Equation of Convolution Type of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . 670
13.11. Wiener–Hopf Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
13.11-1. Some Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
13.11-2. Homogeneous Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . 673
13.11-3. General Scheme of the Method. The Factorization Problem . . . . . . . . . . . . 676
13.11-4. Nonhomogeneous Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . . . . 677
13.11-5. Exceptional Case of a Wiener–Hopf Equation of the Second Kind . . . . . . . 678
13.12. Krein’s Method for Wiener–Hopf Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
13.12-1. Some Remarks. The Factorization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
13.12-2. Solution of the Wiener–Hopf Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . 681
13.12-3. Hopf–Fock Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
13.13. Methods for Solving Equations with Difference Kernels on a Finite Interval . . . . . . . 683
13.13-1. Krein’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
13.13-2. Kernels with Rational Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
13.13-3. Reduction to Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
13.14. Method of Approximating a Kernel by a Degenerate One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
13.14-1. Approximation of the Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
13.14-2. Approximate Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688
13.15. Bateman Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
13.15-1. General Scheme of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
13.15-2. Some Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
13.16. Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
13.16-1. General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
13.16-2. Approximate Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
13.16-3. Eigenfunctions of the Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
13.17. Method of Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
13.17-1. Description of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
13.17-2. Construction of Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
13.18. Bubnov–Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
13.18-1. Description of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
13.18-2. Characteristic Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
13.19. Quadrature Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
13.19-1. General Scheme for Fredholm Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . 698
13.19-2. Construction of the Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
13.19-3. Specific Features of the Application of Quadrature Formulas . . . . . . . . . . . . 700
13.20. Systems of Fredholm Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
13.20-1. Some Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
13.20-2. Method of Reducing a System of Equations to a Single Equation . . . . . . . . 701xviii CONTENTS
13.21. Regularization Method for Equations with Infinite Limits of Integration . . . . . . . . . . . 702
13.21-1. Basic Equation and Fredholm Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
13.21-2. Regularizing Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
13.21-3. Regularization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
14. Methods for Solving Singular Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . 707
14.1. Some Definitions and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
14.1-1. Integral Equations of the First Kind with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
14.1-2. Integral Equations of the First Kind with Hilbert Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
14.2. Cauchy Type Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
14.2-1. Definition of the Cauchy Type Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
14.2-2. H¨older Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
14.2-3. Principal Value of a Singular Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
14.2-4. Multivalued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
14.2-5. Principal Value of a Singular Curvilinear Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
14.2-6. Poincar´e–Bertrand Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
14.3. Riemann Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
14.3-1. Principle of Argument. The Generalized Liouville Theorem . . . . . . . . . . . . . . 714
14.3-2. Hermite Interpolation Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
14.3-3. Notion of the Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
14.3-4. Statement of the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
14.3-5. Solution of the Homogeneous Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
14.3-6. Solution of the Nonhomogeneous Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
14.3-7. Riemann Problem with Rational Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
14.3-8. Riemann Problem for a Half-Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
14.3-9. Exceptional Cases of the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
14.3-10. Riemann Problem for a Multiply Connected Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
14.3-11. Riemann Problem for Open Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
14.3-12. Riemann Problem with a Discontinuous Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
14.3-13. Riemann Problem in the General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
14.3-14. Hilbert Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
14.4. Singular Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
14.4-1. Simplest Equation with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
14.4-2. Equation with Cauchy Kernel on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
14.4-3. Equation of the First Kind on a Finite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
14.4-4. General Equation of the First Kind with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
14.4-5. Equations of the First Kind with Hilbert Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
14.5. Multhopp–Kalandiya Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
14.5-1. Solution That is Unbounded at the Endpoints of the Interval . . . . . . . . . . . . . . 747
14.5-2. Solution Bounded at One Endpoint of the Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
14.5-3. Solution Bounded at Both Endpoints of the Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
14.6. Hypersingular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
14.6-1. Hypersingular Integral Equations with Cauchy- and Hilbert-Type Kernels . . . 751
14.6-2. Definition of Hypersingular Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
14.6-3. Exact Solution of the Simplest Hypersingular Equation with Cauchy-Type
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753
14.6-4. Exact Solution of the Simplest Hypersingular Equation with Hilbert-Type
Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
14.6-5. Numerical Methods for Hypersingular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754CONTENTS xix
15. Methods for Solving Complete Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
15.1. Some Definitions and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
15.1-1. Integral Equations with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
15.1-2. Integral Equations with Hilbert Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
15.1-3. Fredholm Equations of the Second Kind on a Contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
15.2. Carleman Method for Characteristic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
15.2-1. Characteristic Equation with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
15.2-2. Transposed Equation of a Characteristic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
15.2-3. Characteristic Equation on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
15.2-4. Exceptional Case of a Characteristic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
15.2-5. Characteristic Equation with Hilbert Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
15.2-6. Tricomi Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
15.3. Complete Singular Integral Equations Solvable in a Closed Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
15.3-1. Closed-Form Solutions in the Case of Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . 770
15.3-2. Closed-Form Solutions in the General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
15.4. Regularization Method for Complete Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
15.4-1. Certain Properties of Singular Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
15.4-2. Regularizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774
15.4-3. Methods of Left and Right Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
15.4-4. Problem of Equivalent Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
15.4-5. Fredholm Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
15.4-6. Carleman–Vekua Approach to the Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
15.4-7. Regularization in Exceptional Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
15.4-8. Complete Equation with Hilbert Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
15.5. Analysis of Solutions Singularities for Complete Integral Equations with Generalized
Cauchy Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
15.5-1. Statement of the Problem and Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
15.5-2. Auxiliary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
15.5-3. Equations for the Exponents of Singularity of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
15.5-4. Analysis of Equations for Singularity Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
15.5-5. Application to an Equation Arising in Fracture Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . 791
15.6. Direct Numerical Solution of Singular Integral Equations with Generalized Kernels . . 792
15.6-1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
15.6-2. Quadrature Formulas for Integrals with the Jacobi Weight Function . . . . . . . . 793
15.6-3. Approximation of Solutions in Terms of a System of Orthogonal Polynomials 795
15.6-4. Some Special Functions and Their Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
15.6-5. Numerical Solution of Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
15.6-6. Numerical Solutions of Singular Integral Equations of Bueckner Type . . . . . . 801
16. Methods for Solving Nonlinear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
16.1. Some Definitions and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
16.1-1. Nonlinear Equations with Variable Limit of Integration (Volterra Equations) . 805
16.1-2. Nonlinear Equations with Constant Integration Limits (Urysohn Equations) . . 806
16.1-3. Some Special Features of Nonlinear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
16.2. Exact Methods for Nonlinear Equations with Variable Limit of Integration . . . . . . . . . . 809
16.2-1. Method of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
16.2-2. Method of Differentiation for Nonlinear Equations with Degenerate Kernel . . 810xx CONTENTS
16.3. Approximate and Numerical Methods for Nonlinear Equations with Variable Limit of
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
16.3-1. Successive Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
16.3-2. Newton–Kantorovich Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
16.3-3. Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
16.3-4. Quadrature Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
16.4. Exact Methods for Nonlinear Equations with Constant Integration Limits . . . . . . . . . . 817
16.4-1. Nonlinear Equations with Degenerate Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
16.4-2. Method of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
16.4-3. Method of Differentiating for Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
16.4-4. Method for Special Urysohn Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . 821
16.4-5. Method for Special Urysohn Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . 822
16.4-6. Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
16.5. Approximate and Numerical Methods for Nonlinear Equations with Constant Integration
Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
16.5-1. Successive Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
16.5-2. Newton–Kantorovich Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827
16.5-3. Quadrature Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
16.5-4. Tikhonov Regularization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
16.6 Existence and Uniqueness Theorems for Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
16.6-1. Hammerstein Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
16.6-2. Urysohn Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
16.7. Nonlinear Equations with a Parameter: Eigenfunctions, Eigenvalues, Bifurcation Points 834
16.7-1. Eigenfunctions and Eigenvalues of Nonlinear Integral Equations . . . . . . . . . . . 834
16.7-2. Local Solutions of a Nonlinear Integral Equation with a Parameter . . . . . . . . . 835
16.7-3. Bifurcation Points of Nonlinear Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
17. Methods for Solving Multidimensional Mixed Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . 839
17.1. Some Definition and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
17.1-1. Basic Classes of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
17.1-2. Mixed Equations on a Finite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
17.1-3. Mixed Equation on a Ring-Shaped (Circular) Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
17.1-4. Mixed Equations on a Closed Bounded Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
17.2. Methods of Solution of Mixed Integral Equations on a Finite Interval . . . . . . . . . . . . . . 843
17.2-1. Equation with a Hilbert–Schmidt Kernel and a Given Right-Hand Side . . . . . . 843
17.2-2. Equation with Hilbert–Schmidt Kernel and Auxiliary Conditions . . . . . . . . . . 845
17.2-3. Equation with a Schmidt Kernel and a Given Right-Hand Side on an Interval . 848
17.2-4. Equation with a Schmidt Kernel and Auxiliary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . 851
17.3. Methods of Solving Mixed Integral Equations on a Ring-Shaped Domain . . . . . . . . . . 855
17.3-1. Equation with a Hilbert–Schmidt Kernel and a Given Right-Hand Side . . . . . . 855
17.3-2. Equation with a Hilbert–Schmidt Kernel and Auxiliary Conditions . . . . . . . . . 856
17.3-3. Equation with a Schmidt Kernel and a Given Right-Hand Side . . . . . . . . . . . . 859
17.3-4. Equation with a Schmidt Kernel and Auxiliary Conditions on Ring-Shaped
Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
17.4. Projection Method for Solving Mixed Equations on a Bounded Set . . . . . . . . . . . . . . . . 866
17.4-1. Mixed Operator Equation with a Given Right-Hand Side . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
17.4-2. Mixed Operator Equations with Auxiliary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
17.4-3. General Projection Problem for Operator Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873CONTENTS xxi
18. Application of Integral Equations for the Investigation of Differential Equations . . 875
18.1. Reduction of the Cauchy Problem for ODEs to Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 875
18.1-1. Cauchy Problem for First-Order ODEs. Uniqueness and Existence Theorems 875
18.1-2. Cauchy Problem for First-Order ODEs. Method of Successive Approximations 876
18.1-3. Cauchy Problem for Second-Order ODEs. Method of Successive
Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
18.1-4. Cauchy Problem for a Special n-Order Linear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
18.2. Reduction of Boundary Value Problems for ODEs to Volterra Integral Equations.
Calculation of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
18.2-1. Reduction of Differential Equations to Volterra Integral Equations . . . . . . . . . 877
18.2-2. Application of Volterra Equations to the Calculation of Eigenvalues . . . . . . . . 879
18.3. Reduction of Boundary Value Problems for ODEs to Fredholm Integral Equations with
the Help of the Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
18.3-1. Linear Ordinary Differential Equations. Fundamental Solutions . . . . . . . . . . . 881
18.3-2. Boundary Value Problems for nth Order Differential Equations. Green’s
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882
18.3-3. Boundary Value Problems for Second-Order Differential Equations. Green’s
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
18.3-4. Nonlinear Problem of Nonisothermal Flow in Plane Channel . . . . . . . . . . . . . 884
18.4. Reduction of PDEs with Boundary Conditions of the Third Kind to Integral Equations 887
18.4-1. Usage of Particular Solutions of PDEs for the Construction of Other Solutions 887
18.4-2. Mass Transfer to a Particle in Fluid Flow Complicated by a Surface Reaction 888
18.4-3. Integral Equations for Surface Concentration and Diffusion Flux . . . . . . . . . . 890
18.4-4. Method of Numerical Integration of the Equation for Surface Concentration . 891
18.5. Representation of Linear Boundary Value Problems in Terms of Potentials . . . . . . . . . . 892
18.5-1. Basic Types of Potentials for the Laplace Equation and Their Properties . . . . . 892
18.5-2. Integral Identities. Green’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895
18.5-3. Reduction of Interior Dirichlet and Neumann Problems to Integral Equations . 895
18.5-4. Reduction of Exterior Dirichlet and Neumann Problems to Integral Equations 896
18.6. Representation of Solutions of Nonlinear PDEs in Terms of Solutions of Linear Integral
Equations (Inverse Scattering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
18.6-1. Description of the Zakharov–Shabat Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
18.6-2. Korteweg–de Vries Equation and Other Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . 899
Supplements
Supplement 1. Elementary Functions and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
1.1. Power, Exponential, and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
1.1-1. Properties of the Power Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
1.1-2. Properties of the Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
1.1-3. Properties of the Logarithmic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
1.2. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
1.2-1. Simplest Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
1.2-2. Reduction Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
1.2-3. Relations Between Trigonometric Functions of Single Argument . . . . . . . . . . . . 908
1.2-4. Addition and Subtraction of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
1.2-5. Products of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
1.2-6. Powers of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
1.2-7. Addition Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909xxii CONTENTS
1.2-8. Trigonometric Functions of Multiple Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
1.2-9. Trigonometric Functions of Half Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
1.2-10. Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
1.2-11. Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
1.2-12. Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
1.2-13. Representation in the Form of Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
1.2-14. Euler and de Moivre Formulas. Relationship with Hyperbolic Functions . . . . . 911
1.3. Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
1.3-1. Definitions of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
1.3-2. Simplest Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
1.3-3. Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
1.3-4. Relations Between Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
1.3-5. Addition and Subtraction of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 912
1.3-6. Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.3-7. Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.3-8. Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.4. Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.4-1. Definitions of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.4-2. Simplest Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1.4-3. Relations Between Hyperbolic Functions of Single Argument (x ≥ 0) . . . . . . . . 914
1.4-4. Addition and Subtraction of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
1.4-5. Products of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
1.4-6. Powers of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
1.4-7. Addition Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
1.4-8. Hyperbolic Functions of Multiple Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
1.4-9. Hyperbolic Functions of Half Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
1.4-10. Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
1.4-11. Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
1.4-12. Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
1.4-13. Representation in the Form of Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
1.4-14. Relationship with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
1.5. Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-1. Definitions of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-2. Simplest Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-3. Relations Between Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-4. Addition and Subtraction of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-5. Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1.5-6. Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
1.5-7. Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
Supplement 2. Finite Sums and Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
2.1. Finite Numerical Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
2.1-1. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
2.1-2. Sums of Powers of Natural Numbers Having the Form

k
m
. . . . . . . . . . . . . . . 919
2.1-3. Alternating Sums of Powers of Natural Numbers,

(–1)
k
k
m
. . . . . . . . . . . . . . . 920
2.1-4. Other Sums Containing Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920
2.1-5. Sums Containing Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920
2.1-6. Other Numerical Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921CONTENTS xxiii
2.2. Finite Functional Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
2.2-1. Sums Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
2.2-2. Sums Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
2.3. Infinite Numerical Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
2.3-1. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
2.3-2. Other Numerical Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
2.4. Infinite Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925
2.4-1. Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925
2.4-2. Trigonometric Series in One Variable Involving Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
2.4-3. Trigonometric Series in One Variable Involving Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
2.4-4. Trigonometric Series in Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
Supplement 3. Tables of Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
3.1. Integrals Involving Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
3.1-1. Integrals Involving a + bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
3.1-2. Integrals Involving a + x and b + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
3.1-3. Integrals Involving a 2 + x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934
3.1-4. Integrals Involving a 2 – x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
3.1-5. Integrals Involving a 3 + x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
3.1-6. Integrals Involving a 3 – x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
3.1-7. Integrals Involving a 4 ± x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
3.2. Integrals Involving Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
3.2-1. Integrals Involving x 1 / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
3.2-2. Integrals Involving (a + bx)
p/ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
3.2-3. Integrals Involving (x 2 + a 2 ) 1 / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
3.2-4. Integrals Involving (x 2 – a 2 ) 1 / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
3.2-5. Integrals Involving (a 2 – x 2 ) 1 / 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939
3.2-6. Integrals Involving Arbitrary Powers. Reduction Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 939
3.3. Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
3.4. Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
3.4-1. Integrals Involving cosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
3.4-2. Integrals Involving sinh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
3.4-3. Integrals Involving tanh x or coth x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
3.5. Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
3.6. Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
3.6-1. Integrals Involving cos x (n = 1, 2, . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
3.6-2. Integrals Involving sin x (n = 1, 2, . . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
3.6-3. Integrals Involving sin x and cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
3.6-4. Reduction Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
3.6-5. Integrals Involving tan x and cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
3.7. Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
Supplement 4. Tables of Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
4.1. Integrals Involving Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
4.1-1. Integrals Over a Finite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
4.1-2. Integrals Over an Infinite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
4.2. Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
4.3. Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
4.4. Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955xxiv CONTENTS
4.5. Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
4.5-1. Integrals Over a Finite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
4.5-2. Integrals Over an Infinite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
4.6. Integrals Involving Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
4.6-1. Integrals Over an Infinite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
4.6-2. Other Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
Supplement 5. Tables of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
5.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
5.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
5.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963
5.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
5.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
5.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966
5.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967
Supplement 6. Tables of Inverse Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
6.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
6.2. Expressions with Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
6.3. Expressions with Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
6.4. Expressions with Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977
6.5. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
6.6. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
6.7. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980
6.8. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
6.9. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
Supplement 7. Tables of Fourier Cosine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
7.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
7.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
7.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
7.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
7.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
7.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
7.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
Supplement 8. Tables of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
8.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
8.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989
8.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
8.4. Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991
8.5. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
8.6. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
8.7. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993CONTENTS xxv
Supplement 9. Tables of Mellin Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
9.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
9.2. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
9.3. Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998
9.4. Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
9.5. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
9.6. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
Supplement 10. Tables of Inverse Mellin Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
10.1. Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
10.2. Expressions with Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
10.3. Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
10.4. Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
Supplement 11. Special Functions and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
11.1. Some Coefficients, Symbols, and Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
11.1-1. Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
11.1-2. Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
11.1-3. Bernoulli Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
11.1-4. Euler Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
11.2. Error Functions. Exponential and Logarithmic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
11.2-1. Error Function and Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
11.2-2. Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
11.2-3. Logarithmic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
11.3. Sine Integral and Cosine Integral. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
11.3-1. Sine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
11.3-2. Cosine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
11.3-3. Fresnel Integrals and Generalized Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
11.4. Gamma Function, Psi Function, and Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
11.4-1. Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
11.4-2. Psi Function (Digamma Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013
11.4-3. Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
11.5. Incomplete Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
11.5-1. Incomplete Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
11.5-2. Incomplete Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015
11.6. Bessel Functions (Cylindrical Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
11.6-1. Definitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
11.6-2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
11.6-3. Zeros of Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019
11.6-4. Orthogonality Properties of Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019
11.6-5. Hankel Functions (Bessel Functions of the Third Kind) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
11.7. Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
11.7-1. Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
11.7-2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022
11.8. Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023
11.8-1. Definition and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023
11.8-2. Power Series and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023xxvi CONTENTS
11.9. Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
11.9-1. Kummer and Tricomi Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 1024
11.9-2. Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
11.9-3. Whittaker Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
11.10. Gauss Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
11.10-1. Various Representations of the Gauss Hypergeometric Function . . . . . . . . . 1028
11.10-2. Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
11.11. Legendre Polynomials, Legendre Functions, and Associated Legendre Functions . . . 1030
11.11-1. Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
11.11-2. Associated Legendre Functions with Integer Indices and Real Argument . . 1031
11.11-3. Associated Legendre Functions. General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
11.12. Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
11.12-1. Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
11.12-2. Integral Representations, Asymptotic Expansions, and Linear Relations . . . 1035
11.13. Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
11.13-1. Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
11.13-2. Incomplete Elliptic Integrals (Elliptic Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
11.14. Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
11.14-1. Jacobi Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
11.14-2. Weierstrass Elliptic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
11.15. Jacobi Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
11.15-1. Series Representation of the Jacobi Theta Functions. Simplest Properties . . 1043
11.15-2. Various Relations and Formulas. Connection with Jacobi Elliptic Functions 1044
11.16. Mathieu Functions and Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
11.16-1. Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
11.16-2. Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
11.17. Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
11.17-1. Laguerre Polynomials and Generalized Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . 1047
11.17-2. Chebyshev Polynomials and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
11.17-3. Hermite Polynomials and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
11.17-4. Jacobi Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
11.17-5. Gegenbauer Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
11.18. Nonorthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
11.18-1. Bernoulli Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
11.18-2. Euler Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
Supplement 12. Some Notions of Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
12.1. Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
12.1-1. Definition of a Function of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
12.1-2. Classes of Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056
12.1-3. Properties of Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056
12.1-4. Criteria for Functions to Have Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
12.1-5. Properties of Continuous Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
12.2. Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
12.2-1. Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
12.2-2. Properties of the Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058
12.2-3. Existence Theorems for the Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058CONTENTS xxvii
12.3. Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
12.3-1. Riemann Integral and the Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
12.3-2. Sets of Zero Measure. Notion of “Almost Everywhere” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
12.3-3. Step Functions and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
12.3-4. Definition and Properties of the Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
12.3-5. Measurable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062
12.3-6. Integration Over Measurable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.3-7. Case of an Infinite Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.3-8. Case of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.3-9. Spaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.4. Linear Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.4-1. Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.4-2. Linear Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
12.4-3. Space of Continuous Functions C(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.4-4. Lebesgue Space Lp(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.4-5. H¨older Space Cα(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.4-6. Space of Functions of Bounded Variation V (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.5. Euclidean and Hilbert Spaces. Linear Operators in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.5-1. Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.5-2. Euclidean and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
12.5-3. Linear Operators in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

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